數(shù)列綜合應(yīng)用

　　縱觀近幾年的成人高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān);數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問(wèn)題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.

　　●難點(diǎn)磁場(chǎng)

　　(★★★★★)已知二次函數(shù)y=f(x)在x= 處取得最小值- (t>0),f(1)=0.

　　(1)求y=f(x)的表達(dá)式;

　　(2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]為多項(xiàng)式，n∈N*),試用t表示an和bn;

　　(3)設(shè)圓Cn的方程為(x-an)2+(y-bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個(gè)圓的面積之和，求rn、Sn.

　　●案例探究

　　[例1]從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少 ，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加 .

　　(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫(xiě)出an,bn的表達(dá)式;

　　(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?

　　命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，屬★★★★★級(jí)題目.

　　知識(shí)依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn).

　　錯(cuò)解分析：(1)問(wèn)an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆;(2)問(wèn)是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差.

　　技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問(wèn)中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.

　　解：(1)第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800×(1- )萬(wàn)元，…第n年投入為800×(1- )n-1萬(wàn)元，所以，n年內(nèi)的總投入為

　　an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1

　　=4000×[1-( )n]

　　第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+ )，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+ )n-1萬(wàn)元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

　　bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.

　　=1600×[( )n-1]

　　(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此bn-an>0，即：

　　1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0，令x=( )n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x< ，或x>1(舍去).即( )n< ，由此得n≥5.

　　∴至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.

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